podria enseñarte como 3 formas
a) una geometricamente
b)una con progresion aritmetica
y
c) una con las propiedades de sumatoria
esta ultima la aplicare ya que creo que estas en este ramo y creo que es más ad ok
veamos algunas propiedades de las sumatorias
a)telescópica
sea
n
(A(i+1)-Ai)=A2 -A1+A3 -A2+..+An -A(n-1)+..
i=1
..+A(n+1) -An
se llega a
n
A(i+1)-Ai = A(n+1)-A1
i=1
b)
n
1 =1+1+1+1+..+1=n
i=1
ahora tomando en cuenta estas dos propiedades y recordando la formula del cuadrado del binomio
(i+1)^2 =i^2 +2i +1
esto lo podemos escribir como
(i+1)^2 -i^2 =2i +1
ahora haciendo la sumatoraia a lado de la igualdad tenemos
((i+1)^2 -i^2) =2*i + 1
al primer miembro le aplicamos la propiedad telescopica
entonces
n
((i+1)^2 -i^2) =(n+1)^2 - 1^2 =(n+1)^2 -1 =n^2 +2n
i=1
tambien
n
1 =n
i=1
entonces tenemos
((i+1)^2 -i^2) =2*i + 1
n^2 +2n =2*i + n
esto es
(n^2 +2n -n) =2*i
(n^2 +n ) =2*i
n(n+1) =2*i
n(n+1)/2=i
o sea
n
i = n(n+1)/2
i=1
............................
Por Inducción
condiciones
a) que se cumpla para n=1
b) si se cumple para k entonces se cumple para k+1
demostraremos que se cumplen estas premisas
n
i = n(n+1)/2
i=1
para n=1
1
i = 1 ( por extensión)
i=1
1
i = 1(1+1)/2=1*2/2=1 (por formula)
i=1
se cumple para n=1
ahora demostraremos que si se cumple para n=k tambien se cumple para n=k+1
o sea si
k
i = k(k+1)/2
i=1
entonces
k+1
i = (k+1)(k+2)/2
i=1
veamos
k+1
i =
i=1
k
i + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) =k(k+1)/2 +2(k+1)/2
i=1
=(k(k+1) +2(k+1))/2 =(k+2)(k+1)/2 =(k+1)(k+2)/2
por tanto queda demostrado
